Во сколько раз должна увеличиться абсолютная температура одноатомного идеального газа, чтобы среднеквадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в 1,5 раза?

Задача. Во сколько раз должна увеличиться абсолютная температура одноатомного идеального газа, чтобы среднеквадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в 1,5 раза?

Решение

Среднеквадратичная скорость молекул идеального газа связана с его температурой следующим образом:

\displaystyle v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}

где:

$v_{\text{ср}}$ — среднеквадратичная скорость молекул,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура газа,
$m$ — масса одной молекулы газа.

Если среднеквадратичная скорость молекул увеличивается в $n$ раз, то новая скорость будет $n \cdot v_{\text{ср}}$ , и соответствующее уравнение для новой скорости будет:

\displaystyle n \cdot v_{\text{ср}} = \sqrt{\frac{3kT_{\text{нов}}}{m}}

где $T_{\text{нов}}$ — новая температура газа.

Приравняем квадраты этих скоростей:

\displaystyle (n \cdot v_{\text{ср}})^2 = \frac{3kT_{\text{нов}}}{m} \\[5mm] n^2 \cdot (v_{\text{ср}})^2 = \frac{3kT_{\text{нов}}}{m} \\[5mm] n^2 \cdot \frac{3kT}{m} = \frac{3kT_{\text{нов}}}{m}

Отсюда видим, что $T_{\text{нов}} = n^2 \cdot T$ . Таким образом, температура должна увеличиться в $n^2$ раз, чтобы среднеквадратичная скорость молекул увеличилась в $n$ раз.

Подставим значение $n = 1,5$ :

T_{\text{нов}} = (1,5)^2 \cdot T =  2,25 \cdot T

Таким образом, абсолютная температура одноатомного идеального газа должна увеличиться в 2,25 раза, чтобы среднеквадратичная скорость теплового движения его молекул увеличилась в 1,5 раза.

Ответ: 2,25.