Задача. Математический маятник с частотой свободных колебаний 0,5 Гц отклонили на небольшой угол от положения равновесия в положение 1 и отпустили из состояния покоя (см. рисунок).
Сопротивлением воздуха пренебречь. Потенциальная энергия маятника отсчитывается от положения равновесия. Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, описывающие процесс колебаний маятника.
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
- Потенциальная энергия маятника в первый раз достигнет своего максимума через 1 с после начала движения.
- Через 2 с маятник первый раз вернётся в положение 1.
- При движении из положения 2 в положение 3 полная механическая энергия маятника уменьшается.
- Кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет своего минимума через 0,5 с после начала движения.
- При движении из положения 3 в положение 2 модуль силы натяжения нити увеличивается.
Решение
Для решения этой задачи, важно помнить, что математический маятник — это идеализированная модель, в которой предполагается отсутствие трения и сопротивления воздуха, и где колебания происходят под действием силы тяжести. При этом потенциальная энергия максимальна в крайних положениях, а кинетическая энергия максимальна в положении равновесия.
Период колебаний Tматематического маятника рассчитывается по формуле \displaystyle T = \frac{1}{\nu}, где \nu— это частота. По условию задачи \nu = 0,5 Гц, следовательно \displaystyle T = \frac{1}{0,5} = 2секунды.
Теперь разберём утверждения:
1) Поскольку полный период колебания составляет 2 секунды, маятник достигнет крайнего положения (где потенциальная энергия максимальна) через половину этого времени, то есть через 1 секунду. Утверждение верно.
2) Через 2 секунды, то есть за один полный период, маятник вернётся в исходное положение (положение 1), если его отпустить из состояния покоя. Утверждение верно.
3) При движении из положения 2 в положение 3 потенциальная энергия маятника увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается. Так как сопротивление воздуха отсутствует, полная механическая энергия (сумма потенциальной и кинетической) остаётся постоянной. Утверждение неверно.
4) Кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет своего минимума, когда маятник находится в крайних положениях (1 и 3), где его скорость равна нулю. Однако, поскольку полный период колебания составляет 2 секунды, маятник находится в положении равновесия (положение 2) через 0,5 секунды и через 1,5 секунды после начала движения. В эти моменты кинетическая энергия достигает своего максимума, а не минимума. Следовательно, утверждение 4 неверно.
5) Сила натяжения нити будет увеличиваться при движении маятника из положения 3 в положение 2, так как в положении равновесия (положение 2) на нить действует максимальная сила из-за действия центростремительной силы. Утверждение верно.
Таким образом, верными являются утверждения 1, 2, 5.
Ответ: 125.
