Задача. Масса Марса в 10 раз меньше массы Земли, а расположен он в 1,5 раза дальше от Солнца, чем Земля. Во сколько раз сила притяжения Земли к Солнцу больше силы притяжения Марса к Солнцу? (Считать, что обе планеты движутся вокруг Солнца по окружности.)
Решение
Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила притяжения F между двумя телами пропорциональна произведению их масс m_1 и m_2, и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами r:
\displaystyle F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}где G — гравитационная постоянная.
Сила притяжения между Землёй и Солнцем:
\displaystyle F_{Земля} = G \frac{M_{Солнце} M_{Земля}}{r_{Земля}^2}Сила притяжения между Марсом и Солнцем:
\displaystyle F_{Марс} = G \frac{M_{Солнце} M_{Марс}}{r_{Марс}^2}Из условия задачи известно, что масса Марса M_{Марс} в 10 раз меньше массы Земли M_{Земля}, то есть \displaystyle M_{Марс} = \frac{M_{Земля}}{10}, и что Марс расположен от Солнца в 1,5 раза дальше, чем Земля, то есть \displaystyle r_{Марс} = 1,5 r_{Земля}.
Подставим данные в формулу для Марса:
\displaystyle F_{Марс} = G \frac{M_{Солнце} \frac{M_{Земля}}{10}}{(1,5 r_{Земля})^2} \\[5mm] F_{Марс} = G \frac{M_{Солнце} M_{Земля}}{10 \cdot 2,25 r_{Земля}^2} \\[5mm] F_{Марс} = \frac{1}{22,5} \cdot G \frac{M_{Солнце} M_{Земля}}{r_{Земля}^2} \\[5mm] F_{Марс} = \frac{1}{22,5} \cdot F_{Земля}Теперь, чтобы найти во сколько раз сила притяжения Земли к Солнцу больше, чем сила притяжения Марса к Солнцу, разделим F_{Земля} на F_{Марс}:
\displaystyle \frac{F_{Земля}}{F_{Марс}} = \frac{F_{Земля}}{\frac{1}{22,5} \cdot F_{Земля}} \\ \frac{F_{Земля}}{F_{Марс}} = 22,5Таким образом, сила притяжения Земли к Солнцу в 22,5 раза больше силы притяжения Марса к Солнцу.
Ответ: 22,5.
